MATLAB程序设计教程(9)——MATLAB符号计算
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第9章 MATLAB符号计算
9.1 符号对象
9.2 符号微积分
9.3 级 数
9.4 符号方程求解
9.1 符号对象
9.1.1 建立符号对象
1．建立符号变量和符号常量
MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：sym和syms，两个函数的用法不同。
(1) sym函数
sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为：
符号量名=sym(‘符号字符串’)
该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。
应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。下面的命令用于比较符号常量与数值常量在代数运算时的差别。
(2) syms函数
函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为：
syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变量名n
用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符(‘)，变量间用空格而不要用逗号分隔。
2．建立符号表达式
含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下3种方法：
(1)利用单引号来生成符号表达式。
(2)用sym函数建立符号表达式。
(3) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。
9.1.2 符号表达式运算
1．符号表达式的四则运算
符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数symadd、symsub、symmul和symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。
2．符号表达式的提取分子和分母运算
如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为：
[n,d]=numden(s)
该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。
3．符号表达式的因式分解与展开
MATLAB提供了符号表达式的因式分解与展开的函数，函数的调用格式为：
factor(s)：对符号表达式s分解因式。
expand(s)：对符号表达式s进行展开。
collect(s)：对符号表达式s合并同类项。
collect(s,v)：对符号表达式s按变量v合并同类项。
4．符号表达式的化简
MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：
simplify(s)：应用函数规则对s进行化简。
simple(s)：调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。
5．符号表达式与数值表达式之间的转换
利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式。
函数numeric或eval可以将符号表达式变换成数值表达式。
9.1.3 符号表达式中变量的确定
MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常量。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为：
findsym(s,n)
函数返回符号表达式s中的n个符号变量，若没有指定n，则返回s中的全部符号变量。
9.1.4 符号矩阵
符号矩阵也是一种符号表达式，所以前面介绍的符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。但应注意这些函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。
由于符号矩阵是一个矩阵，所以符号矩阵还能进行有关矩阵的运算。MATLAB还有一些专用于符号矩阵的函数，这些函数作用于单个的数据无意义。例如
transpose(s)：返回s矩阵的转置矩阵。
determ(s)：返回s矩阵的行列式值。
其实，曾介绍过的许多应用于数值矩阵的函数，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接应用于符号矩阵。
9.2 符号微积分
9.2.1 符号极限
limit函数的调用格式为：
(1) limit(f,x,a)：求符号函数f(x)的极限值。即计算当变量x趋近于常数a时，f(x)函数的极限值。
(2) limit(f,a)：求符号函数f(x)的极限值。由于没有指定符号函数f(x)的自变量，则使用该格式时，符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，即变量x趋近于a。
(3) limit(f)：求符号函数f(x)的极限值。符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。
(4) limit(f,x,a,’right’)：求符号函数f的极限值。’right’表示变量x从右边趋近于a。
(5) limit(f,x,a,‘left’)：求符号函数f的极限值。‘left’表示变量x从左边趋近于a。
例9-1 求下列极限。
极限1：
syms a m x;
f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/(x+a);
limit(f,x,a)
ans =
(1/2*a*exp(sin(a))+1/2*a-exp(tan(a))+1)/a
极限2：
syms x t;
limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf)
ans =
exp(6*t)
极限3：
syms x;
f=x*(sqrt(x^2+1)-x);
limit(f,x,inf,’left’)
ans =
1/2
极限4：
syms x;
f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2))/sqrt(x*x-4);
limit(f,x,2,’right’)
ans =
-1/2
9.2.2 符号导数
diff函数用于对符号表达式求导数。该函数的一般调用格式为：
diff(s)：没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数。
diff(s,’v’)：以v为自变量，对符号表达式s求一阶导数。
diff(s,n)：按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数。
diff(s,’v’,n)：以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。
例9-2 求下列函数的导数。
9.2.3 符号积分
符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：
int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分。
int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分。
int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
例9-3 求下列积分。
9.2.4 积分变换
常见的积分变换有傅立叶变换、拉普拉斯变换和Z变换。
1．傅立叶(Fourier)变换
在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是：
fourier(f,x,t)：求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。
ifourier(F,t,x)：求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x)。
例9-4 求函数y=的傅立叶变换及其逆变换。
2．拉普拉斯(Laplace)变换
在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是：
laplace(fx,x,t)：求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。
ilaplace(Fw,t,x)：求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。
例9-5 计算y=x3的拉普拉斯变换及其逆变换。
3．Z变换
当函数f(x)呈现为一个离散的数列f(n)时，对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是：
ztrans(fn,n,z)：求fn的Z变换像函数F(z)。
iztrans(Fz,z,n)：求Fz的z变换原函数f(n)。
例9-6 求数列 fn=e-2n的Z变换及其逆变换。
9.3 级 数
9.3.1 级数符号求和
求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum，其调用格式为：
symsum(s,v,n,m)
其中s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。n和m是求和的开始项和末项。
例9-7 求下列级数之和。
9.3.2 函数的泰勒级数
MATLAB提供了taylor函数将函数展开为幂级数，其调用格式为：
taylor(f,v,n,a)
该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项(即变量v的n-1次幂)为止，n的缺省值为6。v的缺省值与diff函数相同。参数a指定将函数f在自变量v=a处展开，a的缺省值是0。
例9-8 求函数在指定点的泰勒级数展开式。
9.4 符号方程求解
9.4.1 符号代数方程求解
在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：
solve(s)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。
solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。
solve(s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn)：求解符号表达式s1,s2,…,sn组成的代数方程组，求解变量分别v1,v2,…,vn。
例9-9 解下列方程。
9.4.2 符号常微分方程求解
在MATLAB中，用大写字母D表示导数。例如，Dy表示y’，D2y表示y”，Dy(0)=5表示y'(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y”’+y”+y’-x+5=0。符号常微分方程求解可以通过函数dsolve来实现，其调用格式为：
dsolve(e,c,v)
该函数求解常微分方程e在初值条件c下的特解。参数v描述方程中的自变量，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件c，则求方程的通解。
dsolve在求常微分方程组时的调用格式为：
dsolve(e1,e2,…,en,c1,…,cn,v1,…,vn)
该函数求解常微分方程组e1,…,en在初值条件c1,…,cn下的特解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，v1,…,vn给出求解变量。
例9-10 求下列微分方程的解。
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