MATLAB程序设计教程(6)—MATLAB数据分析与多项式计算
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第6章 MATLAB数据分析与多项式计算
6.1 数据统计处理
6.2 数据插值
6.3 曲线拟合
6.4 离散傅立叶变换
6.5 多项式计算
6.1 数据统计处理
6.1.1 最大值和最小值
MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为max和min，两个函数的调用格式和操作过程类似。
1．求向量的最大值和最小值
求一个向量X的最大值的函数有两种调用格式，分别是：
(1) y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。
(2) [y,I]=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序号存入I，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。
求向量X的最小值的函数是min(X)，用法和max(X)完全相同。
例6-1 求向量x的最大值。
命令如下：
x=[-43,72,9,16,23,47];
y=max(x) %求向量x中的最大值
[y,l]=max(x) %求向量x中的最大值及其该元素的位置
2．求矩阵的最大值和最小值
求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式，分别是：
(1) max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。
(2) [Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A的每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。
(3) max(A,[],dim)：dim取1或2。dim取1时，该函数和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。
求最小值的函数是min，其用法和max完全相同。
例6-2 分别求3×4矩阵x中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。
3．两个向量或矩阵对应元素的比较
函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为：
(1) U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩阵，结果U是与A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。
(2) U=max(A,n)：n是一个标量，结果U是与A同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。
min函数的用法和max完全相同。
例6-3 求两个2×3矩阵x, y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。
6.1.2 求和与求积
数据序列求和与求积的函数是sum和prod，其使用方法类似。设X是一个向量，A是一个矩阵，函数的调用格式为：
sum(X)：返回向量X各元素的和。
prod(X)：返回向量X各元素的乘积。
sum(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素和。
prod(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素乘积。
sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之和。
prod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。
例6-4 求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。
6.1.3 平均值和中值
求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列中值的函数是median。两个函数的调用格式为：
mean(X)：返回向量X的算术平均值。
median(X)：返回向量X的中值。
mean(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的算术平均值。
median(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的中值。
mean(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于mean(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的算术平均值。
median(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于median(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的中值。
例6-5 分别求向量x与y的平均值和中值。
6.1.4 累加和与累乘积
在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为：
cumsum(X)：返回向量X累加和向量。
cumprod(X)：返回向量X累乘积向量。
cumsum(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向量。
cumprod(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累乘积向量。
cumsum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumsum(A)；当dim为2时，返回一个矩阵，其第i行是A的第i行的累加和向量。
cumprod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumprod(A)；当dim为2时，返回一个向量，其第i行是A的第i行的累乘积向量。
例6-6 求s的值。
6.1.5 标准方差与相关系数
1．求标准方差
在MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数std。对于向量X，std(X)返回一个标准方差。对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列或各行的标准方差。std函数的一般调用格式为：
Y=std(A,flag,dim)
其中dim取1或2。当dim=1时，求各列元素的标准方差；当dim=2时，则求各行元素的标准方差。flag取0或1，当flag=0时，按σ1所列公式计算标准方差，当flag=1时，按σ2所列公式计算标准方差。缺省flag=0，dim=1。
例6-7 对二维矩阵x，从不同维方向求出其标准方差。
2．相关系数
MATLAB提供了corrcoef函数，可以求出数据的相关系数矩阵。corrcoef函数的调用格式为：
corrcoef(X)：返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。它把矩阵X的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。
corrcoef(X,Y)：在这里，X,Y是向量，它们与corrcoef([X,Y])的作用一样。
例6-8 生成满足正态分布的10000×5随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这5列随机数据的相关系数矩阵。
命令如下：
X=randn(10000,5);
M=mean(X)
D=std(X)
R=corrcoef(X)
6.1.6 排序
MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X)，函数返回一个对X中的元素按升序排列的新向量。
sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，其调用格式为：
[Y,I]=sort(A,dim)
其中dim指明对A的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若dim=2，则按行排。Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。
例6-9 对二维矩阵做各种排序。
6.2 数据插值
6.2.1 一维数据插值
在MATLAB中，实现这些插值的函数是interp1，其调用格式为：
Y1=interp1(X,Y,X1,’method’)
函数根据X,Y的值，计算函数在X1处的值。X,Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。method是插值方法，允许的取值有‘linear’、‘nearest’、‘cubic’、‘spline’。
注意：X1的取值范围不能超出X的给定范围，否则，会给出“NaN”错误。
例6-10 用不同的插值方法计算在π/2点的值。
MATLAB中有一个专门的3次样条插值函数Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法与函数Y1=interp1(X,Y,X1,‘spline’)完全相同。
例6-11 某观测站测得某日6:00时至18:00时之间每隔2小时的室内外温度(℃)，用3次样条插值分别求得该日室内外6:30至17:30时之间每隔2小时各点的近似温度(℃)。
设时间变量h为一行向量，温度变量t为一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下：
h =6:2:18;
t=[18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30]’;
XI =6.5:2:17.5
YI=interp1(h,t,XI,‘spline’) %用3次样条插值计算
6.2.2 二维数据插值
在MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函数interp2，其调用格式为：
Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,’method’)
其中X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z是与参数采样点对应的函数值，X1,Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。 method的取值与一维插值函数相同。X,Y,Z也可以是矩阵形式。
同样，X1,Y1的取值范围不能超出X,Y的给定范围，否则，会给出“NaN”错误。
例6-12 设z=x2+y2，对z函数在[0,1]×[0,2]区域内进行插值。
例6-13 某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测试。用x表示测量点0:2.5:10(米)，用h表示测量时间0:30:60(秒)，用T表示测试所得各点的温度(℃)。试用线性插值求出在一分钟内每隔20秒、钢轨每隔1米处的温度TI。
命令如下：
x=0:2.5:10;
h=[0:30:60]’;
T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];
xi=[0:10];
hi=[0:20:60]’;
TI=interp2(x,h,T,xi,hi)
6.3 曲线拟合
在MATLAB中，用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，再用polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。
polyfit函数的调用格式为：
[P,S]=polyfit(X,Y,m)
函数根据采样点X和采样点函数值Y，产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S。其中X,Y是两个等长的向量，P是一个长度为m+1的向量，P的元素为多项式系数。
polyval函数的功能是按多项式的系数计算x点多项式的值，将在6.5.3节中详细介绍。
例6-14 已知数据表[t,y]，试求2次拟合多项式p(t)，然后求ti=1,1.5,2,2.5,…,9.5,10各点的函数近似值。
6.4 离散傅立叶变换
6.4.1 离散傅立叶变换算法简要
6.4.2 离散傅立叶变换的实现
一维离散傅立叶变换函数，其调用格式与功能为：
(1) fft(X)：返回向量X的离散傅立叶变换。设X的长度(即元素个数)为N，若N为2的幂次，则为以2为基数的快速傅立叶变换，否则为运算速度很慢的非2幂次的算法。对于矩阵X，fft(X)应用于矩阵的每一列。
(2) fft(X,N)：计算N点离散傅立叶变换。它限定向量的长度为N，若X的长度小于N，则不足部分补上零；若大于N，则删去超出N的那些元素。对于矩阵X，它同样应用于矩阵的每一列，只是限定了向量的长度为N。
(3) fft(X,[],dim)或fft(X,N,dim)：这是对于矩阵而言的函数调用格式，前者的功能与FFT(X)基本相同，而后者则与FFT(X,N)基本相同。只是当参数dim=1时，该函数作用于X的每一列；当dim=2时，则作用于X的每一行。
值得一提的是，当已知给出的样本数N0不是2的幂次时，可以取一个N使它大于N0且是2的幂次，然后利用函数格式fft(X,N)或fft(X,N,dim)便可进行快速傅立叶变换。这样，计算速度将大大加快。
相应地，一维离散傅立叶逆变换函数是ifft。ifft(F)返回F的一维离散傅立叶逆变换；ifft(F,N)为N点逆变换；ifft(F,[],dim)或ifft(F,N,dim)则由N或dim确定逆变换的点数或操作方向。
例6-15 给定数学函数
x(t)=12sin(2π×10t+π/4)+5cos(2π×40t)
取N=128，试对t从0~1秒采样，用fft作快速傅立叶变换，绘制相应的振幅-频率图。
在0~1秒时间范围内采样128点，从而可以确定采样周期和采样频率。由于离散傅立叶变换时的下标应是从0到N-1，故在实际应用时下标应该前移1。又考虑到对离散傅立叶变换来说，其振幅| F(k)|是关于N/2对称的，故只须使k从0到N/2即可。
程序如下：
N=128; % 采样点数
T=1; % 采样时间终点
t=linspace(0,T,N); % 给出N个采样时间ti(I=1:N)
x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t); % 求各采样点样本值x
dt=t(2)-t(1); % 采样周期
f=1/dt; % 采样频率(Hz)
X=fft(x); % 计算x的快速傅立叶变换X
F=X(1:N/2+1); % F(k)=X(k)(k=1:N/2+1)
f=f*(0:N/2)/N; % 使频率轴f从零开始
plot(f,abs(F),’-*’) % 绘制振幅-频率图
xlabel(‘Frequency’);
ylabel(‘|F(k)|’)
6.5 多项式计算
6.5.1 多项式的四则运算
1．多项式的加减运算
2．多项式乘法运算
函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。这里，P1、P2是两个多项式系数向量。
例6-16 求多项式x4+8x3-10与多项式2x2-x+3的乘积。
3．多项式除法
函数[Q,r]=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2作除法运算。其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。
deconv是conv的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。
例6-17 求多项式x4+8x3-10除以多项式2x2-x+3的结果。
6.5.2 多项式的导函数
对多项式求导数的函数是：
p=polyder(P)：求多项式P的导函数
p=polyder(P,Q)：求P·Q的导函数
[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。
上述函数中，参数P,Q是多项式的向量表示，结果p,q也是多项式的向量表示。
例6-18 求有理分式的导数。
命令如下：
P=[1];
Q=[1,0,5];
[p,q]=polyder(P,Q)
6.5.3 多项式的求值
MATLAB提供了两种求多项式值的函数：polyval与polyvalm，它们的输入参数均为多项式系数向量P和自变量x。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。
1．代数多项式求值
polyval函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：
Y=polyval(P,x)
若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。
例6-19 已知多项式x4+8×3-10，分别取x=1.2和一个2×3矩阵为自变量计算该多项式的值。
2．矩阵多项式求值
polyvalm函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。设A为方阵，P代表多项式x3-5×2+8，那么polyvalm(P,A)的含义是：
A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))
而polyval(P,A)的含义是：
A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))
例6-20 仍以多项式x4+8×3-10为例，取一个2×2矩阵为自变量分别用polyval和polyvalm计算该多项式的值。
6.5.4 多项式求根
n次多项式具有n个根，当然这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。MATLAB提供的roots函数用于求多项式的全部根，其调用格式为：
x=roots(P)
其中P为多项式的系数向量，求得的根赋给向量x，即x(1),x(2),…,x(n)分别代表多项式的n个根。
例6-21 求多项式x4+8x3-10的根。
命令如下：
A=[1,8,0,0,-10];
x=roots(A)
若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项式，其调用格式为：
P=poly(x)
若x为具有n个元素的向量，则poly(x)建立以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量P。
例6-22 已知 f(x)
(1) 计算f(x)=0 的全部根。
(2) 由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。
命令如下：
P=[3,0,4,-5,-7.2,5];
X=roots(P) %求方程f(x)=0的根
G=poly(X) %求多项式g(x)
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