使用Excel绘制卡方分布概率密度函数图表

在Excel图表中，以x轴为随机变量临界值（χ²），y轴为其概率密度来绘制卡方（χ²）分布的概率密度函数图表。

卡方分布的概率密度公式是伽马函数的特例。

伽马函数：

卡方（χ²）函数是伽马函数的特例

当：α=υ/2，β=2时，此时的伽马函数就是卡方函数： （式中χ代表χ²）

由于Excel有求伽马函数的公式:GAMMA.DIST(χ,α,β,积累与否)【2003版中没有那个点，为GAMMADIST(χ,α,β,积累与否)，但2010版能兼容；可是2003版是无法兼容2010版的，引用伽马函数的公式时要注意与使用版本的匹配】

伽马分布函数的公式GAMMA.DIST的语法，可见Excel帮助内容，摘录可参见【附录】：

将GAMMA.DIST(χ,α,β,积累与否)运用到求卡方函数则是：

GAMMA.DIST(χ, υ/2,2, 积累与否)

其中：υ是自由度，积累与否是决定函数形式的逻辑值。如果积累与否的逻辑值为 TRUE，函数 GAMMA.DIST 返回累积分布函数；如果积累与否的逻辑值为 FALSE，则返回不累积的概率密度函数。

在Excel中求自由度=11的卡方分布，公式应为：

GAMMA.DIST(χ, 11/2,2, FALSE)为卡方分布的不累积的概率密度函数

GAMMA.DIST(χ, 11/2,2, TRUE)为卡方分布的累积的概率密度函数

先作卡方分布的不累积的概率密度函数：

第1步 在Excel单元格中输入自变量

在A列中，在单元格A2中输入0，在单元格A3中输入0.5，递增0.5，选中单元格A2与A3，按住右下角的填充控制点一直拖到单元格A102是50为止，A列的这些数据就作为随机变量χ的取值。

第2步 在单元格B2中输入计算t分布的不累积的概率密度函数的公式

自变量χ就是单元格A2的值，所以按Excel相对引用的规则，χ由A2代入即可，于是单元格B2内容是

=GAMMA.DIST(A2,11/2,2,FALSE)

第3步 复制公式

按住单元格B2右下角的填充控制点，向下一直拖曳到B102，将B2的公式填充复制到B列的相应的单元格。

第4步 作卡方分布概率密度函数图表

由于图形右端与x轴渐近，变化极细微，故只选择A1：B72，选“插入”-“图表”-“散点图”-“带平滑线的散点图”，输入标题，调整字号、线型等格式，完成卡方分布概率密度函数图，如图-1所示：

 

图-1

如将上图的图表类型换成二维面积图，则如图-2-1(2003版)和图-2-2（2010版）所示：

图-2-1

 

图-2-2

 

如将上图的图表类型换成三维面积图，则如图-3-1（2003版）和图-3-2（2010版）所示：

 
图-3-1

 

图-3-2

再作卡方分布的累积的概率密度函数：

第1步 在Excel单元格中输入自变量，直接借用上一步输入完毕的A列的这些数据，作为随机变量χ的取值。

第2步 在单元格C2中输入计算t分布的积累的概率密度函数的公式

自变量χ就是单元格A2的值，所以按Excel相对引用的规则，χ由A2代入即可，于是单元格C2内容是

=GAMMA.DIST(A2,11/2,2, TRUE)

第3步 复制公式

按住单元格C2右下角的填充控制点，向下一直拖曳到C102，将C2的公式填充复制到C列的相应的单元格。

第4步 作卡方分布概率密度函数图表

由于图形右端与,y=1渐近，变化极细微，故只选择选择A1：A72和C2：C72单元格区域，选“插入”-“图表”-“散点图”-“带平滑线的散点图”，输入标题，调整字号、线型等格式，完成卡方分布积累的概率密度函数图，如图-4所示：

图-4

 

如将上图的图表类型换成二维面积图，则如图-5-1(2003版)和图-5-2（2010版）所示：

 图-5-1(2003版)

 

图-5-2(2010版)

 

如将上图的图表类型换成三维面积图，则如图-6-1（2003版）和图-6-2（2010版）所示：

 

图-6-1(2003版)

【附录：关于GAMMA.DIST 函数】

以下摘自Excel帮助

GAMMA.DIST 函数

返回伽玛分布。可以使用此函数来研究具有偏态分布的变量。伽玛分布通常用于排队分析。

GAMMA.DIST(x,alpha,beta,cumulative)

GAMMA.DIST 函数语法具有下列参数 （参数:为操作、事件、方法、属性、函数或过程提供信息的值。）：

• X 必需。用来计算分布的值。
• Alpha 必需。分布参数。
• Beta 必需。分布参数。如果 beta = 1，GAMMA.DIST 返回标准伽玛分布。
• Cumulative 必需。决定函数形式的逻辑值。如果 Cumulative 为 TRUE，函数 GAMMA.DIST 返回累积分布函数；如果为 FALSE，则返回概率密度函数。

说明

• 如果 x、alpha 或 beta 为非数值型，则 GAMMA.DIST 返回错误值 #VALUE!。
• 如果 x < 0，则 GAMMA.DIST 返回错误值 #NUM!。
• 如果 alpha ≤ 0 或 beta ≤ 0，则 GAMMA.DIST 返回错误值 #NUM!。
• 伽玛概率密度函数的计算公式如下：

 

标准伽玛概率密度函数为：

 

• 当 alpha = 1 时，GAMMA.DIST 返回如下的指数分布：

 

• 对于正整数 n，当 alpha = n/2，beta = 2 且 cumulative = TRUE 时，GAMMA.DIST 以自由度 n 返回 (1 – CHISQ.DIST.RT(x))。
• 当 alpha 为正整数时，GAMMA.DIST 也称为爱尔朗 (Erlang) 分布。