用R语言求概率分布
R一个很方便的用处是提供了一套完整的统计表集合。函数可以对累积分布函数P(X≤x)，概率密度函数，分位函数（对给定的q，求满足P(X≤x) > q的最小x）求值，并根据分布进行模拟。
在R中，根据某种分布生成随机序列的函数如下：
在统计学中，产生随机数据是很有用的，R可以产生多种不同分布下的随机数序列。这些分布函数的形式为rfunc(n,p1,p2,…)，其中func指概率分布函数，n为生成数据的个数，p1, p2, . . .是分布的参数数值。上面的表给出了每个分布的详情和可能的缺省值（如果没有给出缺省值，则意味着用户必须指定参数）。
例：用0~1之间的均匀分布产生10个随机点
> runif(10)
大多数这种统计函数都有相似的形式，只需用d、p或者q去替代r，比如密度函数(dfunc(x, …))，累计概率密度函数（也即分布函数）(pfunc(x,…))和分位数函数(qfunc(p, …)，0<p<1)。最后两个函数序列可以用来求统计假设检验中P值或临界值。例如，显著性水平为5%的正态分布的双侧临界值是：
> qnorm(0.025)
[1] -1.959964
> qnorm(0.975)
[1] 1.959964
对于同一个检验的单侧临界值，根据备择假设的形式使用qnorm(0.05)或1 – qnorm(0.95)。
下面是一些用R语言求解概率问题的例子：
1.
解：400重伯努利试验，用二项分布求解。
P{X = k} = C400k * (0.02)^k * (0.0=98)^(400-k)
P{X≥2} = 1 – P{X = 0} – P{X = 1}
> 1 – sum(pbinom(0:1, 400, 0.02))
[1] 0.9968561
结论：决不能轻视小概率事情，在多次重复试验的情况下，这一事件的发生几乎是肯定的。
2.
解：这里X是一个连续型随机变量。求X在某段区间上的概率，用X的分布函数在区间两端的值的差。
方法一：P{0<X≤1.6} = P{X≤1.6} – P{X≤0} = F(1.6) – F(0)
> pnorm(1.6, 1, 2) – pnorm(0, 1, 2)
[1] 0.3093739
方法二：转化为标准正态分布。P{x1 < X ≤x2}=P{(x1-μ)/σ < (X-μ)/σ≤(x1-μ)/σ}=φ((x2-μ)/σ) –φ((x1-μ)/σ)
即P{0<X≤1.6}=φ((1.6-1)/2) –φ((0-1)/2)
> pnorm((1.6-1)/2) – pnorm((0-1)/2)
[1] 0.3093739
知识点：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P{X≤x}称为X的分布函数。
对于任意实数x1,x2(x1＜x2),有P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1),
因此，若已知X的分布函数，就可以知道X落在任一区间(x1,x2]上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。
分布函数是一个普遍的函数，正是通过它，我们将能用数学分析的方法来研究随机变量。
如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间(-∞,x]上的概率。
3.
知识点：设X~N(0,1)，若Zα满足条件 P(X>Zα)=α，0<α<1，则称Zα为标准正态分布的上α分位点.
注意上α分位点和R语言中分位函数（对给定的q，求满足P(X≤x) > q的最小x）之间的关系。
解：下面给出α=0.001、α=0.005、α=0.01、α=0.025时的上α分位点Zα的值。
> exp <- expression_r(qnorm(1 – alpha))
> alpha = 0.001
> eval_r(exp)
[1] 3.090232
> alpha = 0.005
> eval_r(exp)
[1] 2.575829
> alpha = 0.01
> eval_r(exp)
[1] 2.326348
> alpha = 0.025
> eval_r(exp)
[1] 1.959964
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