样本方差为什么分母N-1 自由度

关键词：样本方差自由度 样本方差的自由度 样本方差 n 1

样本方差不是让你就算出样本方差来,而是用样本方差来估计总体方差,如果用n做分母那么算出的方差不是无偏估计,也就是说n做分母的样本方差的期望值不等于总体方差的期望值,那就更谈不上什么有效性,只有当分母是n-1的时候样本方差才是无偏的,才能够反映总体方差.

1.总体方差为σ2,均值为μ 
S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]/(n-1) 
X表示样本均值=(X1+X2+...+Xn)/n 

设A=(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2 
E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2] 
=E[(X1)^2-2X*X1+X^2+(X2)^2-2X*X2+X^2+(X2-X)^2....+(Xn)^2-2X*Xn+X^2] 
=E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(X1+X2+...+Xn)] 
=E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(nX)] 
=E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2-nX^2] 

而E(Xi)^2=D(Xi)+[E(Xi)]^2=σ2+μ2 
E(X)^2=D(X)+[E(X)]^2=σ2/n+μ2 （为什么是N分之方差） 
所以E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2] 
=n(σ2+μ2)-n(σ2/n+μ2) 
=(n-1)σ2 
所以为了保证样本方差的无偏性 
S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]/(n-1) 
E(S)=(n-1)σ2/(n-1)=σ2 
2.自由度也可以解释，不是有n个与均值偏差的平方和吗？正好这n个表

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