马尔科夫链与转移矩阵_马尔科夫转移矩-数据分析

马尔科夫链与转移矩阵

关键词：马尔科夫转移矩阵马尔科夫转移概率矩阵马尔科夫转移矩阵计算

什么是转移概率矩阵(Transition Probability Matrix)

转移概率矩阵：矩阵各元素都是非负的，并且各行元素之和等于1，各元素用概率表示，在一定条件下是互相转移的，故称为转移概率矩阵。如用于市场决策时，矩阵中的元素是市场或顾客的保留、获得或失去的概率。P^(k)表示k步转移概率矩阵。

转移概率矩阵的特征

转移概率矩阵有以下特征：

①,0≤P_ij≤1

②，即矩阵中每一行转移概率之和等于1。

转移概率矩阵的分析

所谓矩阵，是指许多个数组成的一个数表。每个数称为矩阵的元素。矩阵的表示方法是用括号将矩阵中的元素括起来，以表示它是一个整体。如Ａ就是一个矩阵。

这是一个由m行n列的数构成的矩阵，表示位于矩阵中第i行与第j列交叉点上的元素，矩阵中的行数与列数可以相等，也可以不等。当它们相等时，矩阵就是一个方阵。

由转移概率组成的矩阵就是转移概率矩阵。也就是说构成转移概率矩阵的元素是一个个的转移概率。

转移概率与转移概率矩阵^[1]

假定某大学有1万学生，每人每月用1支牙膏，并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。根据本月（12月）调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中华牙膏。又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中，有60％的人下月将继续使用黑妹牙膏，40％的人将改用中华牙膏；使用中华牙膏的7000人中，有70％的人下月将继续使用中华牙膏，30％的人将改用黑妹牙膏。据此，可以得到如表－1所示的统计表。

表－1 两种牙膏之间的转移概率

拟用	黑妹牙膏	中华牙膏
现用	黑妹牙膏	中华牙膏
黑妹牙膏	60％	40％
中华牙膏	30％	70％

上表中的4个概率就称为状态的转移概率，而这四个转移概率组成的矩阵

称为转移概率矩阵。可以看出，转移概率矩阵的一个特点是其各行元素之和为１。在本例中，其经济意义是：现在使用某种牙膏的人中，将来使用各种品牌牙膏的人数百分比之和为1。

2．用转移概率矩阵预测市场占有率的变化

有了转移概率矩阵，就可以预测，到下个月（１月份）使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数，计算过程如下：

即：1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900，而使用中华牙膏的人数将为6100。

假定转移概率矩阵不变，还可以继续预测到2月份的情况为：

这里称为二步转移矩阵，也即由12月份的情况通过2步转移到2月份的情况。二步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的平方。一般地， k步转移概率矩阵

正好是一步转移概率矩阵的k次方。可以证明，k步转移概率矩阵中,各行元素之和也都为1。

转移概率矩阵案例分析

案例一: 用转移概率矩阵预测市场占有率的变化^[1]

有了转移概率矩阵，就可以预测，到下个月（１月份）使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数，计算过程如下：

即：1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900，而使用中华牙膏的人数将为6100。假定转移概率矩阵不变，还可以继续预测到2月份的情况为：

=(4170,5830)

这里

称为二步转移矩阵，也即由１２月份的情况通过２步转移到2月份的情况。二步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的平方。一般地， k步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的k次方。可以证明，k步转移概率矩阵中,各行元素之和也都为1。

参考文献

↑ ^1.0 ^1.1 决策支持系统导论.第二章市场需求预测与预测支持系统

什么是转移概率

转移概率是马尔可夫链中的重要概念，若马氏链分为m个状态组成，历史资料转化为由这m个状态所组成的序列。从任意一个状态出发，经过任意一次转移，必然出现状态1、2、……，m中的一个，这种状态之间的转移称为转移概率。

当样本中状态m可能发生转移的总次数为i，而由状态m到未来任一时刻转为状态a_i的次数时，则在m+n时刻转移到未来任一时刻状态a_j的转移概率为：

$P_{ij}(m,m+n)=Pleft{X_m+n = a_j|X_m=a_i right}$

这些转移移概率可以排成一个的转移概率矩阵：P(m,m+n)(P_ij(m,m + n))

当m=1时为一阶转概率矩阵， $mge2$ 时为高阶概率转移矩阵，有了概率转移矩阵，就得到了状态之间经一步和多步转移的规律，这些规律就是贷款状态间演变规律的表，当初始状态已知时，可以查表做出不同时期的预测。

转移概率与转移概率矩阵^[1]

假定某大学有1万学生，每人每月用1支牙膏，并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。根据本月（12月）调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中华牙膏。又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中，有60％的人下月将继续使用黑妹牙膏， 40％的人将改用中华牙膏；使用中华牙膏的7000人中，有70％的人下月将继续使用中华牙膏， 30％的人将改用黑妹牙膏。据此，可以得到如表－1所示的统计表。

表－1 两种牙膏之间的转移概率